Fourier변환을 갖는 Tempered Stable Lévy 프로세스(6모수 CGMY 모형)에 의한 옵션가격결정: Merton's Jump Diffusion Process 및 Variance-Gamma Process 비교·분석

이홍재; 김태석

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자료유형: 학술저널

저자정보: 이홍재 (Quantum Inc) 김태석 (백석대학교)

저널정보: 글로벌경영학회 글로벌경영학회지 글로벌경영학회지 제19권 제5호

발행연도: 2022.10

수록면: 46 - 75 (30page)

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현실세계에서 증권시장의 상품들은 대체로 정규분포를 따르지 않으며, 실제로는 첨도가 높고 왜도의 꼬리부분이 두꺼운 fat-tail 분포를 따르는 것으로 알려져 있다. 따라서 본 연구의 목적은 확률변수가 안정적이고 독립적인 분포를 따르면서 실제분포의 속성을 잘 나타내는 분포를 이용한 옵션가격결정을 분석하는 데 있다. 이때 실증분석 데이터는 2019년 11월 15일부터 2020년 11월 20일까지 252개의 일별 KOSPI200 종가지수를 이용하였으며, 11월 20일 종가인 340.62를 등가격(ATM)으로 하여 335.62와 345.62 각각을 콜옵션(풋옵션)의 OTM(ITM)과 ITM(OTM)으로 설정한 후 분석하였다. 본 논문의 연구방법은 Furier 변환이 가능한 조절안정분포(Tempered Stable Distribution)를 가정한 CTS(또는 CGMY) 모형에 의한 옵션가격결정을 수행하였으며, 이와 더불어 정규분포 및 Fourier 변환을 가정한 Black-Scholes 모형, 그리고 Fourier 변환을 갖는 Merton Diffusion Process와 Variance-Gamma 프로세스에 의한 옵션가격결정모형을 비교·분석하였다. 본 논문의 연구결과는 다음과 같다. 만기 T=1 및 T=0.25 각각의 콜옵션 및 풋옵션 산출결과, (i) BS모형의 경우 기하 브라우니언 모션과 Fourier 역변환에 의한 콜옵션 및 풋옵션 모두 동일한 옵션가격을 산출하였으며, 이는 와 에 기인된 결과이다. (ii) Merton의 Jump-Diffusion Process는 Poisson 분포에 따른 jump 벡터(N=100)의 실증분석에 의해서 산출되었으며, 이때 jump가 0인 경우(와 의 값이 0인 경우)에는 BS모형과 동일한 옵션가격을 산출하나 여기서는 jump가 0이 아닌 경우를 고려하므로, BS모형의 옵션가격보다 약간 더 큰 것으로 나타났다. (iii) Fourier 변환을 이용한 Varinace-Gamma process의 옵션가격은 브라우니언 종속치(subordination)의 표현과 경로분석을 통해 산출되며, Fourier 역변환(FIC) 및 MCS 옵션성과가 BS 모형과 동일한 결과값을 산출하였다. 한편 (iv) CGMY방법에 의한 옵션성과에 대한 산출결과는 소수점 이하에서 미세차이는 있으나 무시할 수 있는 정도여서 CGMY와 BS 모형의 옵션가격이 점근적으로 동일한 것으로 나타났다. 따라서 기존 BS모형보다 Fourier 변환이나 tempered stable Lévy process 모형인 CTS(또는 CGMY)모형에 의한 옵션가격의 분석결과가 실제분포인 fat-tail 속성을 더 잘 설명하는 것으로 나타났다. 본 연구의 시사점은 확률변수가 Furier 변환이 가능한 안정분포인 Tempered Stable Lévy Process를 나타내는 6모수군의 CGMY 모형, Black-Scholes 모형, 그리고 Merton 및 Variance-Gamma 프로세스에 의한 옵션가격을 상호 비교함으로써 정규분포를 가정한 전통적인 Black-Scholes 모형의 분석한계를 극복한 데 있다.

In the real world, products in the stock market do not generally follow a normal distribution, but are known to follow a fat-tail distribution with high kurtosis and thick tails of skewness. Therefore, the purpose of this study is to analyze option pricing using a distribution in which random variables follow a stable and independent distribution and well represent the properties of the actual distribution. At this time, for the empirical analysis data, 252 daily KOSPI200 closing price indexes were used from November 15, 2019 to November 20, 2020. Call Options(Put options) were set as OTM(ITM) and ITM (OTM) and analyzed. In the research methodology of this paper, option pricing was performed by the CTS (or CGMY) model assuming a Tempered Stable Distribution that is capable of Furier transformation. In addition, the Black-Scholes model assuming a normal distribution and Fourier transformation, and the Fourier transformation were performed. The option pricing model using the Merton Diffusion Process and Variance-Gamma process was compared and analyzed. The research findings of this paper are as follows. Calculation results of call options and put options at expiration T=1 and T=0.25, respectively, (i) In the case of the BS model, the same option price was calculated for both call and put options by geometric Brownian motion and Fourier inverse transformation. which is the and . (ii) Merton's Jump-Diffusion Process was calculated by empirical analysis of jump vectors (N=100) according to Poisson distribution. The price is calculated, but since the case where the jump is not 0 is considered, it is slightly larger than the option price of the BS model. (iii) Option price of Varinace-Gamma process using Fourier transformation is calculated through expression of Brownian subordination and path analysis, and Fourier inverse transformation (FIC) and MCS option performance yield the same result as BS model did. On the other hand, (iv) the calculation results for option performance by the CGMY method showed that the option prices of the CGMY and BS models were asymptotically the same as there was a slight difference at the decimal point, but it was negligible. Therefore, the analysis result of the option price by the Fourier transform or the CTS (or CGMY) model, which is a tempered stable Lévy process model, was found to better explain the fat-tail property of the actual distribution than the existing BS model. The implication of this study is that the random variable is normally distributed by comparing the CGMY model of the six-parameter group, the Black-Scholes model, and the option prices by the Merton and Variance-Gamma processes, which represent the Tempered Stable Lévy Process, which is a stable distribution that can be Furier transform. It is in overcoming the analytical limitations of the traditional Black-Scholes model that assumes .

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