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자료유형
학술저널
저자정보
Ariel Aguas-Barreno (Yachay Tech University) Jordy Cevallos-Chavez (Arizona State University) Juan Mayorga-Zambrano (Yachay Tech University) Leonardo Medina-Espinosa (Pontificia Universidad Catolica de Chile)
저널정보
대한수학회 대한수학회보 대한수학회보 제59권 제1호
발행연도
2022.1
수록면
241 - 263 (23page)
DOI
10.4134/BKMS.b210307

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We consider a nonlinear Schr\"odinger equation with critical frequency, $\displaystyle \left( \mathrm{P}_\varepsilon \right): \varepsilon^2 \Delta v(x) - V(x) v(x) + |v(x)|^{p-1} v(x) = 0$, $x\in \mathbb{R}^N$, and $v(x) \rightarrow 0$ as $|x|\rightarrow +\infty$, for the \emph{infinite case} as described by Byeon and Wang. \emph{Critical} means that $0\leq V\in \mathrm{C}(\mathbb{R}^N)$ verifies $\mathcal{Z} = \{V = 0 \} \neq \emptyset$. \emph{Infinite} means that $\mathcal{Z} = \{x_0\}$ and that, grossly speaking, the potential $V$ decays at an exponential rate as $x\rightarrow x_0$. For the semiclassical limit, $\varepsilon \rightarrow 0$, the infinite case has a characteristic limit problem, $\displaystyle \left( \mathrm{P}_{\mathrm{inf}} \right): \Delta u(x) - P(x) \, u(x) + |u(x)|^{p-1}\, u(x)=0$, $x\in \Omega$, with $u(x) = 0$ as $x\in \Omega$, where $\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$ is a smooth bounded strictly star-shaped region related to the potential $V$. We prove the existence of an infinite number of solutions for both the original and the limit problem via a Ljusternik-Schnirelman scheme for even functionals. Fixed a topological level $k$ we show that $v_{k,\varepsilon}$, a solution of $(\mathrm{P}_\varepsilon)$, subconverges, up to a scaling, to a corresponding solution of $(\mathrm{P}_{\mathrm{inf}})$, and that $v_{k,\varepsilon}$ exponentially decays out of $\Omega$. Finally, uniform estimates on $\partial \Omega$ for scaled solutions of $(\mathrm{P}_\varepsilon)$ are obtained.
#Nonlinear Schrodinger equation #semiclassical asymptotics #critical frequency #infinite case

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