On ErdH os chains in the plane

Jonathan Passant

doi:10.4134/BKMS.b200937

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자료유형: 학술저널

저자정보: Jonathan Passant (University of Rochester)

저널정보: 대한수학회 대한수학회보 대한수학회보 제58권 제5호

발행연도: 2021.9

수록면: 1,279 - 1,300 (22page)

DOI: 10.4134/BKMS.b200937

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Let $P$ be a finite point set in $\mathbb{R}^2$ with the set of distance $n$-chains defined as $$ \Delta_n(P)=\{(|p_1-p_2|,|p_2-p_3|,\ldots,|p_n-p_{n+1}|):p_i \in P\}.$$ We show that for $2\leq n=O_{|P|}(1)$ we have $$|\Delta_n(P)|\gtrsim \frac{|P|^{n}}{\log^{\frac{13}{2}(n-1)}|P|}.$$ Our argument uses the energy construction of Elekes and a general version of Rudnev's rich-line bound implicit in \cite{R19}, which allows one to iterate efficiently on intersecting nested subsets of Guth-Katz lines. Let $G$ is a simple connected graph on $m=O(1)$ vertices with $m\geq 2$. Define the graph-distance set $\Delta_G(P)$ as $$ \Delta_G(P) = \{ (|p_{i}-p_{j}|)_{\{i,j\}\in E(G)} : p_i,p_j \in P\}.$$ Combining with results of Guth and Katz \cite{GK15} and Rudnev \cite{R19} with the above, if $G$ has a Hamiltonian path we have $$ |\Delta_G(P)| \gtrsim \frac{|P|^{m-1}}{\text{polylog}|P|}. $$

#Incidence geometry #distinct distances

참고문헌 (33)

참고문헌 신청

M. Bennett / 2016 / Finite chains inside thin subsets of Rd / Anal. & PDE 9(3):597~614

J. Bourgain / 1986 / A szemerédi type theorem for sets of positive density in Rk / Israel Journal of Mathematics 54(3):307~316

BORIS BUKH / 2012 / Space Crossing Numbers / Combinatorics, Probability and Computing 21(3):358~373

Vincent Chan / 2016 / Finite configurations in sparse sets / Journal d'Analyse Mathématique 128(1):289~335

F.R.K Chung / 1984 / The number of different distances determined by n points in the plane / Journal of Combinatorial Theory, Series A 36(3):342~354

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