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자료유형
학술저널
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저널정보
대한수학회 대한수학회논문집 대한수학회논문집 제31권 제2호
발행연도
2016.1
수록면
217 - 227 (11page)

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Let $X$ be a nonempty set,and let $\mathscr{F}=\{Y_{i}:i\in I\}$ be a family of nonempty subsets of $X$ with the properties that $X=\bigcup_{i\in I}{}Y_{i}$, and $Y_{i}\cap Y_{j}=\emptyset$ for all $i,j\in I$ with $i\neq j$. Let $\emptyset\neq J\subseteq I$, and let $T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)=\left\{\alpha\in T(X):\forall i\in I\exists j\in J, Y_{i}\alpha\subseteq Y_{j}\right\}$. Then $T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)$ is a subsemigroup of the semigroup $T\left(X,Y^{(J)}\right)$ of functions on $X$ having ranges contained in $Y^{(J)}$, where $Y^{(J)}:=\bigcup_{i\in J}{}Y_{i}$. For each $\alpha\in T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)$, let $\chi^{(\alpha)}:I\rightarrow J$ be defined by $i\chi^{(\alpha)}=j\Leftrightarrow Y_{i}\alpha\subseteq Y_{j}$. Next, we define two congruence relations $\chi$ and $\widetilde{\chi}$ on $T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)$ as follows: $(\alpha,\beta)\in\chi\Leftrightarrow \chi^{(\alpha)}=\chi^{(\beta)}$ and $(\alpha,\beta)\in\widetilde{\chi}\Leftrightarrow \chi^{(\alpha)}|_{J}=\chi^{(\beta)}|_{J}$. We begin this paper by studying the regularity of the quotient semigroups $T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)/\chi$ and $T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)/\widetilde{\chi}$, and the semigroup $T_{\mathscr{F}}^{(J)}(X)$. For each $\alpha\in T_{\mathscr{F}}(X):=T_{\mathscr{F}}^{(I)}(X)$, we see that the equivalence class $[\alpha]$ of $\alpha$ under $\chi$ is a subsemigroup of $T_{\mathscr{F}}(X)$ if and only if $\chi^{(\alpha)}$ is an idempotent element in the full transformation semigroup $T(I)$. Let $I_{\mathscr{F}}(X)$, $S_{\mathscr{F}}(X)$ and $B_{\mathscr{F}}(X)$ be the sets of functions $\alpha$ in $T_{\mathscr{F}}(X)$ such that $\chi^{(\alpha)}$ is injective, surjective and bijective respectively. We end this paper by investigating the regularity of the subsemigroups $[\alpha]$, $I_{\mathscr{F}}(X)$, $S_{\mathscr{F}}(X)$ and $B_{\mathscr{F}}(X)$ of $T_{\mathscr{F}}(X)$.
#full transformation semigroup #regular element #character

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R. Chinram / 2009 / Green’s relations and regularity of generalized semigroups of linear trans-formations / Lobachevskii J. Math 30(4):253~256 google schola A. H. Clifford / 1961 / The Algebraic Theory of Semigroups. Vol. I, Mathe-matical Surveys, No. 7 / American Mathematical Society google schola A. H. Clifford / 1967 / The Algebraic Theory of Semigroups. Vol. II, Mathematical Surveys, No. 7 / American Mathematical Society google schola L. -Z. Deng / 2010 / Green’s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve double direction equivalence / Semigroup Forum 80(3):416~425 google schola Preeyanuch Honyam / 2011 / SEMIGROUPS OF TRANSFORMATIONS WITH INVARIANT SET / 대한수학회지 48(2):289~300 dbpia

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