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자료유형
학술저널
저자정보
저널정보
대한수학회 대한수학회보 대한수학회보 제52권 제1호
발행연도
2015.1
수록면
105 - 123 (19page)

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Let $ f_\beta=h_\beta+\overline{g}{_\beta}$ and $F_a=H_a+\overline{G}_a$ be harmonic mappings obtained by shearing of analytic mappings $$h_\beta+g_\beta={1}/{(2i{\sin}\beta)}\log\left({(1+ze^{i\beta})}/{(1+ze^{-i\beta})}\right),~0<\beta<\pi$$ and $H_a+G_a={z}/{(1-z)}$, respectively. Kumar \emph{et al.} \cite{ku and gu} conjectured that if $\omega(z)=e^{i\theta}z^n (\theta\in\mathbb{R},\,\, n\in \mathbb{N})$ and $ \omega_a(z)={(a-z)}/{(1-az)},\,a\in(-1,1)$ are dilatations of $f_\beta$ and $F_a$, respectively, then $F_a\widetilde\ast f_\beta \, \in S_H^0$ and is convex in the direction of the real axis, provided $a\in \left[{(n-2)}/{(n+2)},1\right)$. They claimed to have verified the result for $n=1,2,3$ and $4$ only. In the present paper, we settle the above conjecture, in the affirmative, for $\beta=\pi/2$ and for all $n\in \mathbb{N}$.
#univalent harmonic mapping #vertical strip mapping #harmonic convolution

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J. Clunie / 1984 / Harmonic univalent functions / Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I Math 9 : 3 ~ 25 google schola L. Li / / The minimal surfaces over the slanted half-planes, vertical strip and singlr slit google schola L. Li / 2013 / Convolutions of slanted half-plane harmonic mappings / Anal-ysis (Munich) 33 (2) : 159 ~ 176 google schola L. Li / 2014 / Sections of stable harmonic convex functions / Nonlinear Analysis 2014 : 11 ~ google schola Liulan Li / 2015 / Convolutions of Harmonic Mappings Convex in One Direction / Complex Analysis and Operator Theory 9 (1) : 183 ~ 199 google schola

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