교수학적 현상학에 기반한 일차함수 개념 교과과정 개발 :Development of Linear Function Concept Curriculum Based on Didactical Phenomenology

김은숙

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자료유형: 학위논문

저자정보: 김은숙 (충북대학교, 충북대학교 대학원)

지도교수: 조완영

발행연도: 2021

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이 논문의 연구 히스토리 (2)

2022

Freudenthal의 교수학적 현상학에 기반한 일차함수 개념 수학화 과정 사례 분석

김은숙 , 조완영 수학교육 2022.08 학술저널

2021

교수학적 현상학에 기반한 일차함수 개념 교과과정 개발

김은숙 2021.01 학위논문

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본 연구의 목적은 학생들이 일차함수 개념을 스스로 탐구하는 교과과정을 개발하는 데 있다. 이를 위하여 프로이덴탈의 수학화 과정과 일차함수 개념의 교수학적 현상학의 분석을 통하여 일차함수 개념의 현상과 본질을 알아보았고, 현상에서 심상을 구성하고, 심상에서 본질을 구성하는 일차함수 개념의 수학화 과정이 가능한 교과과정을 개발하였다.

본 연구의 목적을 달성하기 위해 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다.
⑴ 학생들의 변화율에 대한 상식은 무엇인가?
⑵ 일차함수 개념 교과과정의 설계 과정은 어떠한가?
⑶ 학생들의 일차함수 개념의 수학화 과정은 어떠한가?
⑷ 교수학적 현상학에 근거하여 일차함수 개념을 지도할 수 있는 교과과정은 어떻게 개발하는가?

본 연구는 개발연구(Developmental Research)의 방법과 절차를 따라서 진행하였다. 먼저, 학생들의 변화율에 대한 상식을 검사하고 프로이덴탈의 수학화와 일차함수 개념의 교수학적 현상학의 분석 결과를 이용하여 일차함수 개념 교과과정을 설계하였다. 둘째, 학생들이 변화율이 일정한 현상을 표, 그래프, 식으로 표현하는 과정과 일차함수 개념의 심상을 구성하는 과정, 본질을 구성하는 과정을 서술하고 분석하였다. 셋째, 초기의 학습 경로와 실제 학습 경로를 비교하고, 수업 과정, 이해도 검사를 분석하여 이 두 가지 경로가 일치하는지를 판단한 후에 교과과정을 최종적으로 완성하였다.

본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 본 연구에서는 변화율이 일정하다는 심상을 구성할 수 있는 현상으로 상황을 제시하고, 상황을 표, 그래프, 식으로 표현하고, 이를 이용하여 두 변화량 사이의 관계를 서술하는 활동, 그리고 변화율과 기울기, 그래프의 모양, 식을 정리하고 조직하여 일차함수의 개념을 구성할 수 있도록 일차함수 개념에 대한 교과과정을 개발하였다. 본 연구에서 개발한 일차함수 개념 교과과정은 학생들이 일차함수 개념의 심상을 다양하게 구성할 수 있는 기회를 제공하였으며, 일차함수 개념의 본질을 상호 연결하여 통합적으로 이해하는데 효과적이라고 할 수 있다.
둘째, 일차함수 개념 교과과정에 대한 학생들의 수학화 과정 중 표, 그래프, 식으로 표현하는 것은 어려움 없이 해결할 것으로 예상하였으나, 학생들은 식으로 표현하는 것을 어려워하였다. 두 변화량을 서술하고 비례관계를 이해하여 변화율이 일정하다는 심상을 구성할 것으로 예상한 대로 학생들은 변화율이 일정하다는 심상은 구성하였으나, 변화율을 그래프에 나타내어 직선의 기울기와 연결하고, 식을 이용하여 변화율을 설명하는 것은 어려워하였다. 또한 학생들이 일차함수의 개념 즉 본질을 구성하는 과정에서는 학생별로 표현 과정과 심상 구성 과정에서 수행한 정도에 따라 일차함수의 뜻을 선택하고, 다른 두 가지 성질 사이의 관계를 서술하는 데 차이가 있었다.
셋째, 일차함수 개념 교과과정에 대한 학생들의 수학화 과정 중 심상에서 본질을 구성할 때 교사의 안내가 필요하였다. 표현 과정, 심상 구성 과정에서는 학생간의 상호작용, 학생과 교사와의 상호작용을 통하여 학생들이 어려움을 극복하였고, 본질 구성 과정에서는 교사의 안내에 따른 전체 토의과정 속에서 학생들이 일차함수 개념을 구성하였다.

This study aims to develop a curriculum on linear functions that can be used for a self-learning by students. For that purpose, I have examined the phenomenon and essence of the linear function, using Freudenthal’s mathmatising process and the didactical phenomenology of linear function concept. As a result, I have developed the curriculum on linear functions that makes the mathmatising of linear functions possible, in which mental objects are constructed from phenomena and essence is constructed from mental objects.
Research questions of this thesis are as follows:
(1) What is the common-sense perception of the rate of change among students?
(2) How are the curriculums on linear functions designed?
(3) How is the mathmatising process of the linear function concept among students?
(4) How can a curriculum on linear functions, relying on the didactical phenomenology, be developed?

This study follows the method and process of developmental research. First, I have examined the common sense on the rate of change among students, and have designed the curriculum on linear functions, using the theory of Freudenthal’s mathmatising process and the results of applying didactical phenomenology to linear function concept. Second, I have described and examined the process in which students represent the constant rate of change into tables, graphs and equations and, in this way, how they construct mental objects and essence of the linear function concept. Third, I have completed the linear function curriculum, checking whether the actual didactical path has been identical to the initial one, by analyzing teaching process and the understanding test results.

The findings from this study can be summarized as follows:
First, this study has developed a curriculum on linear function concept through which the students can build mental objects of a constant rate of change given the suggested situations, express the situation into tables/graphs/equations, describe the relationship between two variables, and finally construct the concept of linear functions by reviewing and organizing the rate of change, slope, shapes of graph and equations. The curriculum on linear function concept, developed through this study, has provided the students with an opportunity to construct mental objects of the linear function concept in various ways and it was more effective to enable the students to understand the essence of linear function concept, as interconnected and as a whole.
Second, while it had at first been expected that the students would have no problems in expressing into tables, graphs and equations during the mathmatising process of linear function concept, they had difficulties in expressing into equations. As anticipated, the students could build mental objects of a constant rate of change, in which they described two variables and understood their proportional relationship, however, they had difficulties in displaying the rate of change on graphs, linking the rate of change with slope, and explaining the rate of change by equations.
Third, the students needed a guidance of teachers, when they tried to construct essence from mental objects during the mathmatising process in the curriculum on linear function concept. When overcoming the difficulties in expressions and constructing mental objects, the students were helped by interactions among students and interactions between students and teachers, while the class discussion under the guidance of teachers was helpful for them to construct the essence.

#교수학적 현상학 #수학화 #개발연구 #일차함수 개념 #교과과정 #변화율

Ⅰ. 서론 1
1. 연구의 필요성 및 목적 1
2. 연구 문제 5
3. 용어의 정의 6
4. 연구의 제한점 7
Ⅱ. 일차함수 개념의 교수학적 현상학 8
1. Freudenthal의 수학화와 교수학적 현상학 8
2. 일차함수 개념의 교수학적 현상학 18
⑴ 일차함수 개념의 역사 발생적 분석 18
⑵ 일차함수 개념의 수학적 분석 22
⑶ 일차함수 개념의 교수학적 분석 28
⑷ 일차함수 개념의 심리적 분석 37
⑸ 일차함수 개념의 응용 분석 40
3. 교수학적 현상학의 분석 결과에 대한 논의 44
⑴ 일차함수 개념의 수학화 과정 44
⑵ 일차함수 개념의 교과과정 개발 방향 46
4. 우리나라 교과서 일차함수 단원 분석 47
Ⅲ. 연구방법 및 절차 52
1. 연구 방법 및 절차 52
2. 연구 대상 55
3. 자료 수집 및 분석 57
Ⅳ. 연구결과 및 논의 60
1. 학생들의 변화율에 대한 상식 60
⑴ 변화율 상식 검사지 개발 60
⑵ 변화율 상식 분석 65
2. 일차함수 개념의 교과과정 설계 70
⑴ 일차함수 개념 단원 구성 71
⑵ 교수 학습 활동 예상 74
3. 학생들의 일차함수 개념의 수학화 과정 89
⑴ 변화율이 일정한 상황을 표, 그래프, 식으로 표현하는 과정 89
⑵ 표, 그래프, 식을 이용하여 변화율이 일정한 상황을 이해하는 과정 103
⑶ 일차함수 개념을 구성하는 반성적 사고 과정 120
⑷ 일차함수 개념의 이해도 분석 127
4. 일차함수 개념의 교과과정 개발 과정 132
5. 연구결과에 대한 논의 153
⑴ 학생들의 변화율에 대한 상식 논의 153
⑵ 일차함수 개념 교과과정의 설계 과정에 대한 논의 155
⑶ 학생들의 일차함수 개념의 수학화 과정에 대한 논의 157
⑷ 일차함수 개념 교과과정 개발 과정에 대한 논의 161
Ⅴ. 결론 및 제언 165
참고문헌 171
부록 1. 일차함수 개념 교수 학습 활동 자료 176
부록 2. 이해도 검사지 191

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