본 연구는 문제 제기 활동 전반에서 나타난 추론 중 가추의 특성을 분석하여 학생들의 다양한 가추 발현을 통한 수학적 창의성 교육의 교육적 대안을 마련하기 위한 것이다. 이에 가추 유형을 분류하고, 문제 만들기 과정별 가추 유형, 학생들이 만든 문제에 따른 가추 유형, 문제 해결 과정별 가추 유형을 살펴본다. 이후 각 과정마다 발현된 가추에 동원된 규칙 추리 사고 전략을 분석하였다.
학생이 떠오른 아이디어의 근거로 규칙을 상정해야하므로 가추를 ‘규칙을 추리하는 추론’으로 전제하고 가추를 크게 두 가지로 분류하였다. 학생이 기존에 알고 있던 것에서 규칙을 선택하는 것을 ‘선택적 가추(Selective abduction)’로, 알지 못하는 지식을 규칙으로 창조하여 추측하는 경우를 ‘창의적 가추(Creative abduction)’로 상정한다. 선택적 가추는 다시 조작적 가추(Manipulative selective abduction)와 이론적 가추(Theoretical selective abduction)로 분류하였다. 조작적 가추는 가추를 형성하는 규칙이 지식이 아닌 직관적, 비언어적으로 표현되는 경우나 제시된 문제 상황을 파악할 때 직관적이거나 조작적으로 자동적 혹은 반자동적으로 행하는 행동으로 정의하였다. 이론적 가추는 가추를 형성하는 규칙이 지식인 경우의 추론으로 정의하였다. 창의적 가추는 ‘학교 수학 수준에서의 창의적 가추(Little creative abduction)’와 ‘학문적 수학 수준에서의 창의적 가추(Big creative abduction)’로 다시 분류하였다. 학교 수학 수준에서의 창의적 가추는 수학자에 의해 이미 세상에 존재하지만 아직 학생이 배우지 못해서 알지 못한 규칙을 상정한 경우의 추론으로 정의하였다. 학문적 수학 수준에서의 창의적 가추는 실제 세상에 존재하지 않아서 학생이 새로운 규칙을 발명하거나, 제시된 상황과 전혀 상관이 없는 규칙을 상정한 경우의 추론으로 정의하였다.
문제 만들기 과정별 가추 유형을 분석한 결과는 다음과 같다. 관찰에서 분석으로 넘어가는 첫 단계에 학생들은 조작적 가추를 대체로 사용하였고, 분석에서 종합으로 넘어가는 두 번째 단계에서는 조작적 가추, 이론적 가추가 나타났다. 종합에서 문제 만들기 단계로 넘어가는 마지막 단계에서는 가추의 네 가지 유형이 모두 나타났다. 특히, 이론적 가추와 창의적 가추가 전반적으로 나타났다. 이에 문제 만들기 활동의 전 과정에서 다양한 가추 유형이 나타남을 알 수 있다.
학생들이 만드는 문제를 동치, 동형, 유사 문제 3가지로 분류하였다. 동치문제는 제시된 문제의 숫자나 식만 간단히 바꿔 만드는 문제이다. 동형문제는 제시된 문제의 맥락이나 수식을 바꾸어 제시하는 문제이다. 제시된 문제와의 유형이 전혀 다르지만 문제의 해결방법은 같은 문제는 유사문제로 분류하였다. 학생들이 만든 문제 유형에 따라 사용된 가추 유형에 차이가 있었다. 동치문제의 경우, 제시된 문제의 조건을 문제를 만들기 위한 대상으로 인식하고 숫자나 식을 학생이 원하는 숫자나 식으로 바꾸어 제시하는 조작적 가추만 발현되었다. 동형문제와 유사문제의 경우, 조작적 가추, 이론적 가추, 창의적 가추가 모두 발현되었다. 유사문제의 경우에는 창의적 가추가 가장 많이 발현되었다. 동형문제와 유사문제의 경우, 조작적 가추는 동치문제에서의 조작적 가추와는 다른 조건을 그림으로 표현하거나 유추하거나 조건들을 결합, 제거하는 등의 다양한 형태의 행동들을 수반한 규칙을 상정하는 형태로 나타났다.
문제 해결 과정별 가추 유형을 분석한 결과는 다음과 같다. 문제 해결 과정에서는 문제 만들기에서 문제 이해로 넘어가는 첫 번째 단계에서는 수학적 대상으로 인식하는 조작적 가추가 대체로 발현되었다. 문제 이해에서 계획으로 넘어가는 두 번째 단계에서는 조작적 가추, 이론적 가추가 대체로 나타났다. 계획에서 실행으로 넘어가는 세 번째 단계에서도 이론적 가추가 주를 이루었다. 실행에서 반성의 단계에서도 학생들이 문제를 해결하면서 문제의 오류를 파악하고 오류를 고치기 위해 조건을 수정할 때 수학적 지식을 많이 사용하는 이론적 가추가 나타났다. 문제 해결 전 과정에서는 이론적 가추가 높게 나타나고, 창의적 가추는 나타나지 않았다. 또한, 문제 해결 과정에서 나타난 이론적 가추는 문제 만들기에서의 이론적 가추와는 다르게 수학적 지식만을 규칙으로 상정하는 가추가 주를 이루었다.
문제 제기 활동 전반에서 학생들이 어떤 규칙들을 상정하였는지 각 가추에 동원된 사고 전략에 대해 살펴보았다. 조작적 가추의 규칙을 추리하기 위한 사고 전략은 총 7가지이다. 7가지는 대상으로 인식하기, 패턴 찾기, 숫자나 그림으로 변환하기, 유추하기, 반대로 생각하기, 결합하기, 제거하기이다. 이론적 가추의 규칙을 추리하기 위해 떠올린 지식은 수학적 지식, 경험적 지식, 타교과 지식의 3가지이다. 창의적 가추의 규칙을 추리하기 위해 떠올린 사고 전략은 총 3가지이다. 3가지는 제시된 문제의 단원이 아닌 다른 단원의 수학적 지식을 사용한 상승화 전략, 공식이나 정리를 만들어내는 일반화 전략, 전혀 관련 없어 보이는 개념을 연결하는 창조적 전략이다.
정리하면 문제 해결 과정에서는 자신이 이미 알고 있는 수학적 지식을 선택하여 규칙으로 상정하는 이론적 가추가 주를 이루었다. 조작적 가추는 일부 나타났으나, 창의적 가추는 발현되지 않았다. 반면, 문제 만들기 과정에서는 조작적 가추, 이론적 가추, 창의적 가추가 모두 나타났으며, 특히 유사문제를 제시하였을 때 창의적 가추가 많이 발현되었다. 이에 문제 해결에서 문제 만들기로의 교수·학습 방법의 확장이 필요하다. 또한, 현재 교과서의 숫자 바꾸기 형태의 문제 만들기에서 탈피하여 다양한 유형의 가추가 발현되는 과제의 설계가 필요하다. 따라서 문제 만들기에서 수학적 창의성에 대한 연구가 더 확대되어야 한다.
본 연구에서 제시된 사고 전략은 문제제기의 가추적 추론에 동원되는 사고 전략을 다 보여주지는 못했다. 제시되는 과제에 따라, 과제를 대하는 학생들의 성향에 따라, 더 다양한 전략들이 실제 학생들의 활동에서 사용될 수 있기 때문이다. 따라서 본 연구에서 제시하지 않았던 유형의 문제 제기 과제를 지속적으로 실험하여 문제 제기 가추에 동원되는 사고 전략들을 확장하는 연구가 필요하다. 또한 가추에 동원된 사고 전략을 학생들에게 교수한다면, 사고 전략의 학습을 통해 학생들은 이전에는 생각하지 못했던 규칙들을 상정하여 다양한 가추를 진행할 수 있을 것이다. 이러한 활동의 반복으로 학생들의 다양한 가추의 발현이 수학적 창의성 교육에 한걸음 다가가는 한 방법이 되기를 기대한다.

The present study analyzes the features of abduction manifested in problem posing activity and observes a variety of abduction types shown in students, with the intent of discovering educational alternative of mathematical creativity. To this end, abduction types were classified and examined by stages, by student-posed problem types and by problem solving stages. Subsequently, rule-inferring strategies used in each abduction stage were analyzed. The findings of the study gave away to some meaningful conclusions.
In line with the need to classify abduction on the part of students, abduction, on the premise, is ‘inference to deduce rules’. According to the nature of rules, abduction types fall into two categories. Selective abduction is presumed as a student’s selection of a rule from what is already known. Creative abduction is presumed as a student’s creation and prediction of a rule from what is unknown. Selective abduction is again classified into manipulative selective abduction and theoretical selective abduction. Manipulative selective abduction is an inference where a rule which makes up abduction is not knowledge; rather, it is expressed intuitively and nonverbally. Such is defined as an automatic or semi-automatic action taken in an intuitive or manipulative manner, when identifying a given problem. Theoretical selective abduction is defined as an inference where a rule which makes up abduction is knowledge. Creative abduction is again classified into little creative abduction at the level of mathematics in school and Big creative abduction at the level of academic mathematics. Little creative abduction at the level of mathematics in school is defined as an inference where a student presumes a rule which is unknown to him as he has not yet learned about it, but which exists in the real world as having been found by a mathematician. Big creative abduction at the level of academic mathematics is defined as an inference where a student comes up with a new rule that doesn’t exist, or a student presumes a rule that is not relevant at all with the given situation.
Following are the results of analysis on abduction types by problem posing stages. At the first stage progressing from observation to analysis, manipulative selective abduction was mainly utilized. At the second stage progressing from analysis to integration, manipulative selective abduction and theoretical selective abduction were mainly manifested. At the final stage of progressing from integration to problem posing, all four abduction types were observed. In particular, theoretical selective abduction and creative abduction were shown throughout. It was empirically proven, therefore, that various abduction types are used across problem posing stages.
Problems posed by students were classified into three types. Equivalence problem refers to a problem given after simply replacing a given number or formula. Isomorphic problem refers to a problem given after changing the context or formula of the given problem, while keeping the problem type constant. A problem which is entirely different from a given problem but uses a similar solution is classified as similar problem. Abduction type mainly used differed according to problem types posed by students. In the case of equivalence problem, manipulative selective abduction was used, by which a student perceived conditions in the given problem as mathematical objects and changed a number or formula to another one of their preference. For isomorphic problem and similar problem, manipulative selective abduction, theoretical selective abduction and creative abduction were all utilized. In the case of similar problem, creative abduction was frequently utilized. As for isomorphic problem and similar problem, manipulative selective abduction manifested itself differently from how it was manifested in equivalence problem: As a student presumed a rule accompanying a range of actions, such as drawing a given condition, inferring and combining/removing conditions.
Analysis on abduction type by problem posing stages resulted in the following. During problem-solving stage, at the first stage progressing from problem posing to problem understanding, manipulative selective abduction was mainly utilized. At the second stage progressing from problem understanding to planning, manipulative selective abduction and theoretical selective abduction were mainly manifested. At the third stage progressing from planning to execution, theoretical selective abduction was largely used as well. At execution and reflection stages, students were observed to having used theoretical selective abduction, capitalizing on mathematical knowledge as they identified errors in a problem and modified conditions to correct the error. Throughout problem solving stages, theoretical selective abduction was frequently utilized, while creative abduction was never used. Moreover, theoretical selective abduction shown in problem solving stages differed from how it was used in problem posing: Abduction where a student selected only mathematical knowledge to presume a rule was mainly utilized.
Thinking strategies employed at each abduction were examined in order to find out what rules were presumed by students across problem solving activity. Seven types of thinking strategies were identified as having been used on rule inference by manipulative selective abduction: Perceive as object, find pattern, representation to number or picture, analogical reasoning, backwards thinking, combination and elimination. Three types of knowledge were used on rule inference by theoretical selective abduction: mathematical knowledge, experiential knowledge and knowledge about other subjects. Three types of thinking strategies were used on rule inference by creative abduction: synergistic strategy of using mathematical knowledge from lessons other than the given one, formalization strategy of constructing formula or theorem and creative strategy of linking concepts seemingly irrelevant.
As considered in the present study, in problem solving stage, theoretical selective abduction where a student presumes a rule by selection of mathematical knowledge already known was mainly utilized. While manipulative selective abduction was partially used, creative abduction was not used. On the other hand, in problem posing stage, manipulative selective abduction, theoretical selective abduction and creative abduction were all manifested. In particular, creative abduction was frequently used when given a similar problem. Thus, teaching method should expand from problem solving to problem posing. Furthermore, breaking away from the tradition of simply replacing numbers, tasks should be redesigned so as to encourage using different abduction types. Deeper investigation is also required on mathematical creativity developed through problem posing.
Thinking strategies provided in the present study are only a part of thinking strategies used in abductive reasoning of problem posing. Many more strategies of various types may be utilized in student activity, according to the type of given task and student attitude toward such task. In other words, rule-inferring thinking strategy utilized in abduction during problem posing is limited in that it does not represent the entire group of thinking strategies. Therefore, studies need to be conducted to expand thinking strategies used in problem posing abduction through continuous experiment of problem posing tasks of the type not provided in the present study. In addition, teaching students thinking strategies employed in abduction may yield a variety of abduction types, as students would be able to presume rules that they have not yet thought of. It is a sincere hope that training of such activities would result in various abduction types shown in students, with a view to taking a step forward to mathematical creativity education.