본 연구는 학교수학에서 여러 기하의 상호 연결성에 대한 필요성을 바탕으로 고등학교 1학년 도형의 방정식 단원의 학습내용의 개념도입과 문제 해결을 위한 정보 수집, 정보 처리, 정보 파지 과정(권영인?서보억, 2007)에서 논증기하를 활용하여 해석기하의 기하학적 의미를 강조한 기하 수업 모형을 개발하였다. 그리고 위의 기하 수업 모형을 학교 현장에 적용하였을 때, 도형의 방정식 학습 과정 중 나타나는 학생의 특징을 살펴보기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.

1. 도형의 방정식 단원에서 논증기하와의 연결성을 강조한 해석기하 수업 모형을 개발한다.
2. 기하 수업 모형을 활용한 도형의 방정식 학습 과정 중 나타나는 학생들의 특징은 어떠한가?

이러한 연구 문제들을 해결하기 위해 문헌 연구를 통하여 학교수학에서 여러 기하 상호 번역의 중요성을 확인하고, 특히 해석기하를 처음으로 다루게 되는 고등학교 1학년 기하 영역의 개념 이해와 문제 해결의 교수학습 측면에서 중학교에서 배운 논증기하를 결합해서 지도할 수 있음을 확인하여 연구 필요성 및 목표를 설정하였다. 이후 도형의 방정식 단원에서 논증기하의 활용에 관한 문헌을 검토하고 이를 바탕으로 기하 수업 모형의 개발 원리를 설정하였다. 이어서 2009 개정 교육과정 고등학교 1학년 기하영역과 중학교 기하영역의 기하 내용요소를 분석한 후 수학Ⅰ교과서, 교사용 지도서 내용을 바탕으로 고등학교 도형의 방정식 단원 학습 시에 도입되거나 활용 될 수 있는 중학교 기하 내용 요소를 결합하였다. 이를 본 연구자가 설정한 개발 원리에 맞추어 내용요소를 재배열 하여 기하 수업 모형에 맞는 학습 자료를 개발하였다. 개발한 기하 수업 모형과 학습 자료를 사례 연구방법 통해 실제 학교 현장의 정규 수업시간에 적용하여 학생들의 기하 개념 이해 과정 중 나타나는 특징을 전반적으로 살펴보았다.
도형의 방정식 단원에서 논증기하와의 연결성을 강조한 해석기하 수업 모형 개발 원리는 다음과 같다. 첫째 도형의 방정식 단원에서 관련된 논증기하 개념을 이해하고 그 연결성을 인식하는 기회를 제공하기 위하여 해당 기하 개념과 관련된 논증기하 내용을 탐구할 수 있는 기회를 제공하였다. 둘째 도형의 방정식 문제(기하영역 문제)를 해결할 때 다양한 접근이 가능하도록 기본 예제부터 응용문제까지 논증기하를 결합한 풀이방법을 탐구하도록 하고, 문제를 해결한 후에는 구한 답이 주어진 문제에서 수학적으로 어떤 의미를 함의하고 있는지 논증기하요소를 결합하여 반성하는 기회를 제공하여 응용된 문제 상황에도 전이 시킬 수 있는 능력을 기를 수 있도록 하였다. 셋째 연구자가 개발한 도형의 방정식 단원에서 논증기하를 활용하여 해석기하의 기하학적 의미를 강조한 기하수업에 활용될 활동지에는 학습자간 의사소통의 기회를 제공하기 위한 열린 문항으로 구성하였으며, 학습자의 주도적인 기하 내 연결성을 인식한 기하 개념 이해를 돕기 위해 교사(연구자)는 적절한 발문계획을 수립하였다.
위의 개발 원리를 바탕으로 개발한 <도형의 방정식 단원에서 논증기하와 연결성을 강조한 해석기하 수업 모형>을 적용하여 기하 수업 과정 중 나타나는 학생들의 특징을 기하 개념 이해 과정을 중심으로 분석하여 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있었다. 학생들은 직각삼각형의 닮음의 성질을 이용하여 직선의 기울기에 대해 직관적으로 이해하고, 두 점을 지나는 직선의 기울기가 일정함을 이용하여 학생들 스스로 직선의 방정식 유도할 수 있었다. 또한 학생들은 ‘두 직선의 평행과 수직 조건’에 대한 해석기하 성질을 정당화 하는 과정 중에 논증기하 요소를 결합하여 주도적인 정당화 활동을 할 수 있었다. 탐구형 소프트웨어인 GeoGebra기능 중 그래프와 대수식의 동시 표현기능으로 학생의 변수개념에 대한 오류 수정 기회를 제공하고, GeoGebra의 슬라이드 기능을 통해 학생들에게 귀납추론의 기회를 제공할 수 있었다.
본 연구에서 개발한 논증기하와의 연결성을 강조한 해석기하 수업모형과 이를 활용한 사례연구를 토대로 향후 중?고등학교 기하 영역의 수학교과서의 변화 방향을 제시할 수 있을 것이다. 또한 고등학교 1학년 학생들이 도형의 방정식 단원에서 배우게 될 해석기하의 수학적 의미를 이해하고, 기하영역의 연결성을 인식하여 수학적 사고력을 길러주는데 도움을 줄 것으로 기대한다.