정당화 지도를 위한 수업 모형 개발 : 중학교 기하 영역을 중심으로 :Development of instructional model for teaching justification : focus on middle school geometry

김수철

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자료유형: 학위논문

저자정보: 김수철 (성균관대학교, 성균관대학교 일반대학원)

지도교수: 강옥기

발행연도: 2013

저작권: 성균관대학교 논문은 저작권에 의해 보호받습니다.

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본 연구는 2011 개정 수학과 교육과정의 정당화 도입과 관련하여, 교사들의 정당화 수업 진행을 돕기 위한 효과적인 수업 모형을 개발하는 것이 주된 목적이다. 연구자는 수업 모형 개발에 앞서, 선행 연구를 분석하여 수학에서의 정당화의 개념을 정의하고, 중학교 수학의 정당화 단계 및 유형에 대하여 논의하였다.
본 연구에서는 ‘정당화’를 “경험적?귀납적인 것부터 형식적?연역적인 것까지 다양한 방법을 사용하여 자신의 수학적 추론이 참이라는 것을 설명하는 과정”으로 정의하였다. 연구자는 선행 연구를 고찰하여 중학교 수학의 정당화를 4단계, 8가지 유형으로 구분하였으며, 각각의 단계 및 유형은 다음과 같다. 제 1단계는 경험적?귀납적 정당화 단계로, 지각적?활동적 정당화, 평범한 예에 의한 정당화, 극단적 예에 의한 정당화의 세 가지 유형을 포함하고 있다. 제 2단계는 예에 의한 정당화 단계로, 시각적 예에 의한 정당화와 포괄적 예에 의한 정당화 유형이 여기에 속한다. 제 3단계는 준연역적 정당화 단계로, 식의 조작에 의한 정당화 유형과 논리적 설명에 의한 정당화 유형을 포함하고 있다. 제 4단계는 형식적?연역적 정당화 단계로, 여기에는 형식적 증명 유형이 있다.
연구자는 정당화 지도를 위한 수업 모형(Instructional Model for Teaching Justification)을 간략히 IMTJ로 지칭하였으며, 이 수업 모형을 개발하기 위하여 다음과 같은 방법으로 연구를 수행하였다. 먼저, Van Hiele와 Freudenthal의 이론, 그리고 중학교 수학의 정당화 단계 및 유형에 관한 논의 결과를 토대로, IMTJ 시안을 개발하였다. 연구자는 IMTJ 시안 적용 결과를 토대로 수업 모형을 수정안을 제시하였고, 이를 실제 수업에 적용한 다음, 현장에 적용 가능한 최종적인 수업 모형을 제시하였다. 이 수업 모형의 현장 적용 가능성을 판단하기 위해 현장 적용 교사 3명을 섭외하여 IMTJ에 대한 오리엔테이션(orientation)을 실시한 후, 실험 수업을 실시하였다. 수업의 전 과정은 자동 영상 촬영 장치로 녹화되었으며, 교사와 학생의 대화 내용을 모두 전사하여 주요 사례를 중심으로 수업 과정을 자세히 분석하였으며, 학생들의 자기반성 사례가 담긴 수학일지, 교사들과의 면담 전사 자료 등을 추가로 분석하였다. 본 연구의 주요 결과는 다음과 같다.
첫째, IMTJ를 활용한 수업에서 교사와 학생들의 수업 장면이 거의 유사하므로 이 수업 모형은 일반화가 가능하며, 학습자가 자신의 수준에 맞는 단계에서 정당화 활동을 수행할 수 있으므로 다양한 수준의 학습자에게 적용 가능하다.
둘째, 대부분의 학생들은 정당화의 필요성을 인식하였으며, 처음에는 학생들이 정당화 활동을 어려워하였지만, 수업이 거듭될수록 흥미와 자신감을 갖게 되었다. 이 수업 모형에서는 교사 및 동료 학습자의 조언이 정당화 활동을 수행하는 데 중요한 역할을 하였다. 또한 정당화 수준이 낮은 학생들도 IMTJ를 활용한 수업에 만족감을 느꼈다.
셋째, IMTJ는 모든 학습자들에게 연역적인 단계의 정당화를 요구하지 않기 때문에 교사와 학생의 부담을 줄일 수 있으며, 학생 중심의 수업이 가능하기 때문에 학습자의 참여 및 흥미를 증진시킬 수 있을 것으로 기대된다.

The purpose of this study is to develop an effective instructional model for teaching ‘justification’, as mentioned in the 2011 Revised Middle School Mathematics Curriculum. Before developing the instructional model, we analyzed preceding researches. After the analysis, we defined ‘Justification’ in mathematics and discussed the steps and types of justification in middle school mathematics.
In this study, justification is defined as ‘the process of explaining that a mathematical reasoning is true, by using different methods from the empirical & inductive things to the formal & deductive things.’ Out of the results of the preceding researches, justification in middle school mathematics is divided into four steps and eight types. The first step is Empirical & Inductive Justification, which has three types: Justification by Perceptive & Active, Justification by Normal Examples, Justification by Extreme Examples. The second step is Justification by Examples, which includes Justification by Visual Examples, Justification by Generic Equations. The third step is Semi-Deductive Justification, which includes Justification by Manipulating Equations, Justification by Logical Explanations. The fourth step is Formal & Deductive Justification, which contains only one type, the Formal Proof.
Instructional Model for Teaching Justification is simply called IMTJ, and a research for developing the IMTJ was carried out as follows. First of all, we developed an IMTJ draft based on Van Hiele’s theory and Freudenthal’s theory, and discussion of justification steps and types in middle school. After plan was applied to the class, the analysis of the results led us suggest the following amendment. Also, after applying the IMTJ amendment in real classes, we suggested the final instructional model to be applied to real classes. To decide whether the model is possible to be applied in real classroom settings, three teachers were selected to implement the model in their classes. The classes were recorded by video-recording systems with analysis focused on prime cases. Additional analyses included students’ mathematical diaries and each teacher’s review data. We have drawn three conclusions from this study.
First, because of the lesson scenes are almost similar, the IMTJ is able to generalize. Since students can do the justification activity depending on their ability to justify the mathematical reasoning, IMTJ is readily applicable for all levels of students.

Second, most students recognized the necessity of justification. As students did justification activity at the first time they were difficulty to the activity, but as time goes by, they felt interest and confidence. In this instructional model, teacher and student’s comments are important to do the justification activity. Also, the low level of the students felt satisfaction through the classes of applying IMTJ.
Third, because the IMTJ does not need to the deductive justification steps for all students, the burdens of the teachers and students will be lightened. Being able to teach the students as the central figure, it will encourage and interest of the students.

#정당화 #수업 모형 #중학교 기하

Ⅰ. 서론 1
1. 연구의 필요성과 목적 1
2. 연구 문제 7
3. 용어의 정의 8
Ⅱ. 이론적 배경 10
1. 정당화의 의미 10
2. 정당화 관련 선행 연구 분석 12
가. Balacheff의 정당화 12
나. Tall의 정당화 16
다. Simon, Blume의 정당화 21
라. Sowder, Harel의 정당화 23
마. 그 밖의 정당화 유형 26
3. 수업 모형 관련 이론 29
Ⅲ. 연구 방법 33
1. 연구 절차 33
2. IMTJ 시안 및 수정안 적용 35
가. 적용 대상 및 방법 35
나. 자료 수집 및 분석 36
3. IMTJ 적용 38
가. 적용 대상 및 방법 38
나. 자료 수집 및 분석 39
Ⅳ. 정당화의 의미와 단계 41
1. 수학에서의 정당화의 의미 41
2. 중학교 수학의 정당화 단계 및 유형 42
가. 경험적?귀납적 정당화 단계 및 유형 53
나. 예에 의한 정당화 단계 및 유형 54
다. 준연역적 정당화 단계 및 유형 55
라. 형식적·연역적 정당화 단계 및 유형 57
3. 중학교 수학 ② 교과서 기하 영역 분석 59
가. 분석 기준 및 방법 59
나. 분석 결과 61
Ⅴ. 정당화 지도를 위한 수업 모형 개발 및 적용 85
1. IMTJ 시안 85
가. IMTJ 시안 제시 85
나. IMTJ 시안 적용 결과 93
2. IMTJ 수정안 97
가. IMTJ 수정안 제시 97
나. IMTJ 수정안 적용 결과 99
3. IMTJ 128
가. IMTJ 제시 128
나. IMTJ 적용 결과 131
4. IMTJ 적용에 따른 학생과 교사의 반응 169
가. 학생의 수학일지 분석 결과 169
나. 교사 면담 결과 177
Ⅵ. 결론 및 제언 185
1. 요약 및 결론 185
2. 제언 191
참고 문헌 193
부록 200
ABSTRACT 271

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