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자료유형
학술저널
저자정보
김기태 (인하대학교) 이향숙 (이화여자대학교) 임선간 (인하대학교) Jeongeun Park (KU Leuven) 이익권 (인하대학교)
저널정보
대한수학회 대한수학회지 대한수학회지 제59권 제6호
발행연도
2022.11
수록면
1,047 - 1,065 (19page)
DOI
10.4134/JKMS.j210496

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For two dimensional lattices, a Gaussian basis achieves all two successive minima. For dimension larger than two, constructing a pairwise Gaussian basis is useful to compute short vectors of the lattice. For three dimensional lattices, Semaev showed that one can convert a pairwise Gaussian basis to a basis achieving all three successive minima by one simple reduction. A pairwise Gaussian basis can be obtained from a given basis by executing Gauss algorithm for each pair of basis vectors repeatedly until it returns a pairwise Gaussian basis. In this article, we prove a necessary and sufficient condition for a pairwise Gaussian basis to achieve the first $k$ successive minima for three dimensional lattices for each $k\in\{1,2,3\}$ by modifying Semaev's condition. Our condition directly checks whether a pairwise Gaussian basis contains the first $k$ shortest independent vectors for three dimensional lattices. LLL is the most basic lattice basis reduction algorithm and we study how to use LLL to compute a pairwise Gaussian basis. For $\delta\ge 0.9$, we prove that LLL($\delta$) with an additional simple reduction turns any basis for a three dimensional lattice into a pairwise SV-reduced basis. By using this, we convert an LLL reduced basis to a pairwise Gaussian basis in a few simple reductions. Our result suggests that the LLL algorithm is quite effective to compute a basis with all three successive minima for three dimensional lattices.
#Lattice #pairwise-Gaussian basis #lattice basis reduction #LLL

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