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이차곡선은 아주 오래된 역사를 가진 기하학적 소재이다. Euclid의 제자인 Apollonius는 기원전 3세기 경에 이차곡선에 대한 연구를 담은 ‘원뿔곡선론’을 저술하였다. Apollonius는 원뿔을 여러 각도에서 평면으로 잘라 보고 그 절단 부분에 나타난 곡선을 원뿔곡선이라 명명하였다. 하지만 그리스 시대에는 좌표를 사용하지 못하는 불편함이 있었기 때문에 Apollonius는 이차곡선을 연구함에 있어 대수적인 식을 사용하지 않고 도형의 합동이나 닮음의 성질을 이용하는 논증기하의 방법론을 취하였다. 그리스 시대 수학자들은 논증기하의 방법만으로도 많은 이차곡선의 성질들을 유도하였으며, 유명한 3대 작도 문제 중의 하나인 ‘배적문제: 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체 구하기’는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로는 해결되지 않는다는 사실을 알고, 눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 직선과 원 이외의 또 다른 곡선인 원뿔곡선에 대하여 흥미를 갖고 연구를 하였다.
Hippocrates는 배적문제가 인 를 구하는 문제로 귀착됨을 이용하여, 이같은 가 두 포물선 의 교점의 좌표로 나타난다는 사실을 생각해내어, 3대 작도불능문제의 하나인 이 배적문제를 풀었다고 전해진다.
현행 고등학교 수학과 교육과정에서 이차곡선과 관련된 문제는 주로 해석기하적인 측면에서 다루어지고 있으며 초점과 직선과의 위치관계 정도는 다루나 논증기하적인 측면은 거의 다루어 지지 않고 있다.
홍성관․박철호(2007)는 고등학교에서 이차곡선의 지도가 오로지 대수적인 관점(또는 해석기하적인)만을 강조하여 학생들이 그 개념의 기원을 무시한 채, 오로지 기계적인 계산으로 해결하는 형식주의에 빠짐을 지적하고, 이에 대한 대안으로 기하적인 관점으로 접근 한 후 대수적인 관점으로 연결시켜야 함을 지적하였다.
나귀수(2006)는 기하교육이 고등학교에서 해석기하의 많은 내용을 학습하지만 해석기하의 수학적 의미를 거의 인식하지 못하고 있음을 지적하면서, 이에 대한 대안으로 논증기하와 해석기하의 조화를 이룰 수 있는 구체적인 방안탐색의 필요성을 지적하였다.
이에, 본 연구에서는 고등학교 수준에서 논증기하와 해석기하의 조화를 이룰 수 있는 방안의 하나로서 이차곡선을 활용한 Abū Sahl과 Archimedes의 정칠각형에 대한 작도방법을 고찰하고, 이를 바탕으로 눈금 없는 자와 컴퍼스로는 작도 불가능함으로 알려진 정칠각형 작도문제를 교육현장에서 많이 사용하고 있는 역동적 수학교육용 소프트웨어인 GSP(Geometer's Sketchpad)로 이차곡선을 활용하여 구현해 보이며, 또한 현행 중등수학교육과정에서 다루고 있는 Euclid정리를 이용하여 포물선에 관한 Apollonius의 징후(symptom)를 설명함으로써, 이러한 시도를 통해 얻어질 수 있는 교육적 시사점을 도출해보고자 한다.
이를 위하여 먼저, 정칠각형의 작도법에 관한 Abū Sahl의 해석을 살펴보고, 이에 관한 새로운 증명법을 제시하며 나아가 이를 근거로 원뿔곡선을 이용한 Abū Sahl의 정칠각형의 작도법(Berggren(1986)에 의하면 비록 정칠각형을 자신의 해석에 따라 작도한 흔적은 전혀 보이지 않은 것으로 알려지고 있다.)에 따라 현행 중등수학교육과정에서 다루고 있는 내용들을 응용하여 GSP (Geometer's Sketchpad)를 활용하여 정칠각형 작도의 근사구현을 시도함으로써 현장에서 적용 가능한 교수․학습 자료를 제시한다.
다음으로, Abū Sahl의 해석에서는 Apollonius의 포물선과 쌍곡선에 관한 몇 가지 성질(Apollonius의 symptom(징후) (Berggren, 1986) )을 증명 없이 결과만을 사용하고 있다. 그러나 이 포물선과 쌍곡선에 관한 징후를 포물선과 쌍곡선에 관한 현대적인 기법을 이용하여 새로운 증명법을 제시하고, 특히 그 당시의 수학사적 배경으로 볼 때 Apollonius가 이용했을 것으로 추측되어지는 현행 중등수학교육과정에서 다루고 있는 Euclid정리를 이용하여 Apollonius의 포물선에 관한 징후를 설명하며, 나아가 보다 구체적으로 GSP를 활용하여 그림으로 그 증명방법을 제시하고 확인할 것이다.
끝으로 Archimedes의 정칠각형의 작도법(祭藤 憲, 2008)에 관한 해석도 소개한다. 실제로 Archimedes가 제시한 정칠각형의 작도법에서는 Euclid의 「원론」과 마찬가지로 어떻게 작도법을 찾아내었는지에 대한 기술은 전혀 없으며, 작도와 증명만 전해지고 있지만, 이 경우에도 역시 정칠각형이 그려졌다고 가정한 후에 추론한 것으로 알려져 있다.
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Berggren, J. L. / 1986 / Episodes in the Mathematics of Medieval Islam / Springer-Verlag
Henry Mendell / / Archimedes and the Regular Heptagon, according to Thabit Ibn Qurra / California State Univ
Thabit Ibn Qurra / / On Inscribing a Regular Heptagon in a Circle, props. 17, 18 / California State Univ
祭藤 憲 / 2008 / 正五角形と正七角形の作圖 / 數學敎育 : 28 ~ 33
김성은 / 2002 / 작도와 연계한 평면 논증 기하 학습 자료 및 지도안 개발 연구 / 석사 / 한국교원대학교
Henry Mendell / / Archimedes and the Regular Heptagon, according to Thabit Ibn Qurra / California State Univ
Thabit Ibn Qurra / / On Inscribing a Regular Heptagon in a Circle, props. 17, 18 / California State Univ
祭藤 憲 / 2008 / 正五角形と正七角形の作圖 / 數學敎育 : 28 ~ 33
김성은 / 2002 / 작도와 연계한 평면 논증 기하 학습 자료 및 지도안 개발 연구 / 석사 / 한국교원대학교
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