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In the present paper, we have proved the sharp inequality $|H_{3,1}(f)|$ $\le 4$ and $|H_{3,1}(f)|\le 1$ for analytic functions $f$ with $a_n:=f^{(n)}(0)/n!,\ n\in\mathbb{N},$ such that $$\mathrm{Re}\, \frac{f(z)}{z}> \alpha,\quad z\in\mathbb{D}:=\{z \in\mathbb{C} : |z|<1\}$$ for $\alpha=0$ and $\alpha=1/2,$ respectively, where \begin{equation*} H_{3,1}(f):= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_2 & a_3 & a_4 \\ a_3 & a_4 & a_5 \end{vmatrix} \end{equation*} is the third Hankel determinant.
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Deepak Bansal / 2015 / THIRD ORDER HANKEL DETERMINANT FOR CERTAIN UNIVALENT FUNCTIONS / 대한수학회지 52(6):1139~1148
C. Caratheodory / 1907 / Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen / Math. Ann 64(1):95~115
N. E. Cho / 2017 / Some coefficient inequalities related to the Hankel determinant for strongly starlike functions of order alpha / J. Math. Inequal 11(2):429~439
N. E. Cho / 2018 / The bounds of some determinants for starlike functions of order alpha / Bull. Malays. Math. Sci. Soc 41(1):523~535
A. Janteng / 2007 / Hankel determinant for starlike and convex functions / Int. J. Math. Anal. (Ruse) 1(13-16):619~625
C. Caratheodory / 1907 / Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen / Math. Ann 64(1):95~115
N. E. Cho / 2017 / Some coefficient inequalities related to the Hankel determinant for strongly starlike functions of order alpha / J. Math. Inequal 11(2):429~439
N. E. Cho / 2018 / The bounds of some determinants for starlike functions of order alpha / Bull. Malays. Math. Sci. Soc 41(1):523~535
A. Janteng / 2007 / Hankel determinant for starlike and convex functions / Int. J. Math. Anal. (Ruse) 1(13-16):619~625
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