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In J. Korean Math. Soc, Zhang, Xu and other authors investigated the following problem: what is the structure of finite groups which have many normal subgroups? In this paper, we shall study this question in a more general way. For a finite group G, we define the subgroup A(G) to be intersection of the normalizers of all non-cyclic subgroups of G. Set A_0=1. Define A_(i+1)(G)/A_i(G)=A(G/A_i(G)) for i≥1. By A_∞(G) denote the terminal term of the ascending series. It is proved that if G=A_∞(G), then the derived subgroup G' is nilpotent.
Furthermore, if all elements of prime order or order 4 of G are in A(G), then G' is also nilpotent.
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A. R. Camina / 1970 / The Wielandt length of finite groups / J. Algebra 15 : 142 ~ 148
B. Huppert / 1967 / Endliche Gruppen I / Springer-Verlag
D. Gorenstein / 1980 / Finite Groups / Chelsea
D. J. S. Robinson / 1982 / A Course in the Theory of Groups / Springer-Verlag
D. S. Passman / 1970 / Nonnormal subgroups of p-groups / J. Algebra 15 : 352 ~ 370
B. Huppert / 1967 / Endliche Gruppen I / Springer-Verlag
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D. S. Passman / 1970 / Nonnormal subgroups of p-groups / J. Algebra 15 : 352 ~ 370
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